Nomogramme de Fagan

Pourquoi une droite donne la bonne réponse

Le théorème de Bayes sous forme de cotes dit que la cote après le test vaut la cote avant, multipliée par le rapport de vraisemblance du résultat :

Prenez le logarithme des deux membres et la multiplication devient une addition :

Une addition, c’est quelque chose qu’une règle sait faire. Placez à gauche l’axe pré-test portant le $\log_{10}$ de la cote, à droite l’axe post-test à la même échelle, et joignez deux points par une droite. Au milieu, la droite se trouve à la moyenne de ses deux extrémités :

L’axe du milieu lit donc le rapport de vraisemblance — mais à la moitié de l’écartement des décades des deux autres. Ce facteur deux n’est pas une convention de dessin : il sort de l’algèbre, et c’est pourquoi l’échelle des RV paraît comprimée à côté de ses voisines sur tous les nomogrammes imprimés. La droite n’est ni une approximation ni un artifice de lecture. Elle est le théorème de Bayes, tracé en logarithme des cotes.

Comment le lire, et à quoi il sert

Le nomogramme rend visible ce qu’une formule dissimule : de combien le test vous a réellement déplacé. Un rapport de vraisemblance de 1 se trouve au centre de l’axe médian, et la droite qui le traverse ressort horizontale — le résultat ne vous a rien appris. Plus le RV s’éloigne de 1, plus la droite s’incline, et plus la réponse voyage.

Il rend aussi le mode d’échec évident. Partez d’une probabilité pré-test très basse et même un rapport de vraisemblance spectaculaire décolle à peine la droite du plancher. C’est le même fait qu’une VPP basse en dépistage, vu de profil : aucun test ne rattrape un a priori qui n’existait pas.

Ce que valent les chiffres

RV+ supérieur à 10, ou RV− inférieur à 0,1 : décisif dans la plupart des contextes. 5 à 10, ou 0,1 à 0,2 : modéré. 2 à 5, ou 0,2 à 0,5 : faible, et rarement suffisant pour changer une décision à lui seul. Un RV de 1 ne vaut rien — le résultat est aussi fréquent chez les malades que chez les sains, et la droite ressort horizontale.

Un cas traité : les D-dimères, et pourquoi une mauvaise VPP peut faire un bon test

Un patient a une probabilité pré-test d’embolie pulmonaire de 15 % d’après le score de Wells. Le dosage des D-dimères a une sensibilité de 97 % et une spécificité de seulement 40 %, si bien que son rapport de vraisemblance négatif vaut $(1 - 0{,}97) / 0{,}40 = 0{,}075$. Le test revient négatif. Placez 15 % sur l’axe de gauche et 0,075 au milieu : la droite atterrit sur 1,3 % — sous le seuil qui justifierait imagerie et anticoagulation.

Une spécificité de 40 % est indéfendable pour un test censé confirmer un diagnostic, et la VPP d’un D-dimère positif tourne autour de 22 %. Rien de tout cela ne compte ici, car ce n’est pas ce que mesure une VPP qui permet d’éliminer. Jugez un test à l’aune de la décision qu’il doit soutenir, et l’instrument d’une décision d’élimination est le rapport de vraisemblance négatif.