VPP / VPN : 10 exercices corrigés
Dix exercices sur les valeurs prédictives, du premier tableau 2×2 jusqu’aux pièges qui attrapent les cliniciens. Chacun pose l’énoncé, puis replie la correction complète : cherchez d’abord, ouvrez ensuite. La méthode est toujours la même — construire une cohorte, la scinder, lire la réponse sur le tableau.
La méthode, une fois pour toutes
Ne substituez pas dans le théorème de Bayes sous la pression du chrono. Prenez une cohorte ronde, scindez-la selon la prévalence, appliquez la sensibilité à la moitié malade et un moins la spécificité à la moitié saine. Vous avez les quatre cases, et chaque grandeur en est un rapport. Le calcul se vérifie lui-même : les cases doivent sommer à N.
Exercice 1 — le premier tableau
Une mammographie de dépistage détecte environ 90 % des cancers (sensibilité) et donne un faux positif chez environ 9 % des femmes saines (spécificité 91 %). Dans la tranche d’âge dépistée, environ 1 femme sur 100 a un cancer du sein. Prenez 1 000 femmes. Construisez le tableau 2×2 et calculez la VPP et la VPN.
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• Sur les 10 malades, le test en trouve 90 % : VP = 9, FN = 1.
• Sur les 990 saines, 9 % sont signalées à tort : FP = 89, VN = 901.
• Vérification : 9 + 1 + 89 + 901 = 1 000 ✓
• Positives : 9 + 89 = 98, dont 9 malades.
• VPP = 9 / 98 = 9,2 % VPN = 901 / 902 = 99,9 %
Une mammographie de dépistage positive se trompe neuf fois sur dix. Ce n’est pas un test défaillant — c’est précisément pourquoi un dépistage positif mène à une biopsie et non à un diagnostic.
Exercice 2 — lire le tableau à l’envers
Une étude teste 500 patients. 80 ont la maladie ; le test est positif chez 72 d’entre eux. Sur les 420 sans la maladie, le test est positif chez 42. Calculez la sensibilité, la spécificité, la VPP et la VPN.
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• Se = 72 / 80 = 90 % (en descendant la colonne des malades)
• Sp = 378 / 420 = 90 % (en descendant la colonne des sains)
• VPP = 72 / (72 + 42) = 63,2 % (en parcourant la ligne des positifs)
• VPN = 378 / (378 + 8) = 97,9 % (en parcourant la ligne des négatifs)
La sensibilité et la spécificité divisent par les colonnes. Les valeurs prédictives divisent par les lignes. Les mêmes quatre cases, un dénominateur différent — c’est là toute la distinction.
Exercice 3 — le même test, deux services
Un test a une sensibilité de 90 % et une spécificité de 95 %. Calculez la VPP (a) en dépistage d’une population où la maladie touche 1 personne sur 1 000, et (b) dans un service spécialisé où 30 % des patients adressés se révèlent atteints.
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• (b) π = 30 % : VPP = 88,5 %
• La sensibilité et la spécificité sont identiques dans les deux cas. Seule la population a changé.
C’est le fait le plus lourd de conséquences de tout le chapitre. Un résultat positif n’a pas un sens unique. Il a un sens par population, et c’est le filtre d’adressage qui le change.
Exercice 4 — rapports de vraisemblance et cotes
Un test a une sensibilité de 80 % et une spécificité de 90 %. (a) Calculez le RV+ et le RV−. (b) Un patient a une probabilité pré-test de 20 %. Le test revient positif. Utilisez la forme en cotes pour trouver la probabilité post-test.
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• RV− = (1 − Se) / Sp = 0,20 / 0,90 = 0,22
• Cote pré-test = 0,20 / 0,80 = 0,25
• Cote post-test = 0.25 × 8 = 2,00
• Retour à la probabilité : 2.00 / (1 + 2.00) = 66,7 %
Le rapport de vraisemblance ne contient aucune prévalence : c’est pourquoi c’est la part que vous pouvez reprendre d’une étude publiée et appliquer au patient devant vous.
Exercice 5 — remonter à la prévalence
Un laboratoire rapporte que, dans sa propre population de patients, un test de sensibilité 95 % et de spécificité 90 % a une VPP de 32 %. Quelle est la prévalence de la maladie chez les patients qu’il teste ?
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• VPP 32 % : cote post-test = 0,32 / 0,68 = 0,47.
• Cote pré-test = cote post-test / RV+ = 0,47 / 9,5 = 0,0495.
• π = cote / (1 + cote) = 4,7 %
• Vérification par substitution : VPP(Se 95 %, Sp 90 %, π 4.7 %) = 32,0 % ✓
La forme en cotes fonctionne dans les deux sens. C’est ce calcul qui vous dit dans quelle population une VPP publiée a réellement été mesurée.
Exercice 6 — le test à 99 %
Une maladie touche 1 personne sur 1 000. Un test est sensible à 99 % et spécifique à 99 %. Un patient est positif. Quelle est la probabilité qu’il ait la maladie ? Répondez avant de calculer, puis calculez.
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• VP = 99, FN = 1, FP = 999, VN = 98 901.
• Positifs : 99 + 999 = 1 098.
• VPP = 99 / 1 098 = 9,0 %
Neuf fois sur dix le positif est faux, pour un test juste 99 % du temps dans les deux sens. Le 1 % des 99 900 sains qu’il étiquette à tort dépasse en nombre les 100 malades qui existent.
Exercice 7 — l’illusion de la VPN
Un test a une sensibilité de 50 % et une spécificité de 90 %. Il est utilisé pour dépister une population où la maladie touche 0,2 %. (a) Calculez la VPN. (b) Calculez la VPN d’un « test » qui répond simplement « négatif » à tout le monde. Comparez.
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• (b) La règle du tout-négatif a raison sur tous les sains, donc sa VPN = 1 − π = 99,80 %
• Le vrai test, qui manque la moitié des cas, ne bat le caillou que de 0.09 points.
Une VPN élevée en contexte de faible prévalence ne veut presque rien dire : c’est un fait sur la rareté de la maladie, pas sur le test. Jugez la performance d’élimination sur le RV− ou sur la sensibilité, dont aucune ne contient la prévalence.
Exercice 8 — le piège cas-témoins
Un fabricant valide un test sur 700 échantillons archivés connus comme positifs et 10 000 échantillons de donneurs de sang. Le test est réactif sur 699 des positifs et sur 20 des donneurs. La notice annonce une VPP de 97 %. (a) Vérifiez ce chiffre sur le tableau. (b) Expliquez pourquoi il est dépourvu de sens. (c) Calculez la VPP qui s’applique au dépistage d’une population de prévalence 0,1 %.
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• (b) La prévalence propre à l’étude vaut 700 / 10 700 = 6,5 %. Personne ne l’a mesurée. Quelqu’un a choisi d’acheter 700 échantillons positifs plutôt que 300 ou 2000. Les totaux de ligne encodent une décision d’achat, pas une population.
• (c) Extrayez ce qui est transportable : Se = 699/700 = 99,86 %, Sp = 9 980/10 000 = 99,80 %. Substituez avec π = 0,1 % : VPP = 33,3 %.
• Deux tiers des positifs en dépistage réel sont faux — pour un test dont la notice est parfaitement véridique.
Vous ne devez jamais lire une valeur prédictive sur un tableau cas-témoins. Extrayez la sensibilité et la spécificité, puis calculez vous-même la VPP avec la prévalence de la population que vous comptez réellement tester.
Exercice 9 — une mauvaise VPP sur un bon test
D-dimères pour suspicion d’embolie pulmonaire : sensibilité 97 %, spécificité 40 %. Un patient a une probabilité pré-test de 15 % d’après le score de Wells. (a) Calculez la VPP si le test est positif. (b) Calculez la probabilité résiduelle d’EP si le test est négatif. (c) Est-ce un mauvais test ?
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• (b) RV− = 0,03 / 0,40 = 0,075. Cote pré-test = 0,15/0,85 = 0,176. Cote post-test = 0,176 × 0.075 = 0,013. Probabilité résiduelle = 1,3 %.
• (c) Non — c’est un excellent test, bien employé. Son rôle n’est pas de confirmer l’EP, mais de l’éliminer, et il fait passer une probabilité de 15 % sous le seuil qui justifierait imagerie et anticoagulation.
Jugez un test à l’aune de la décision qu’il doit soutenir, pas de sa VPP. Un test conçu pour éliminer se juge sur son RV−.
Exercice 10 — pourquoi le dépistage se fait en deux temps
Un programme de dépistage utilise un premier test sensible (Se 99 %, Sp 80 %) suivi, chez les seuls positifs, d’un test de confirmation spécifique (Se 95 %, Sp 99,5 %). La maladie touche 0,5 % de la population dépistée. Prenez 100 000 personnes. (a) Quelle est la VPP après le premier test ? (b) Après le second ?
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• (a) VPP après l’étape 1 = 495 / 20 395 = 2,4 % — mauvaise, comme attendu d’un dépistage volontairement sur-sensible.
• Mais voyez ce qu’il a fait : parmi les 20 395 personnes envoyées à l’étape 2, la prévalence vaut désormais 2,4 %, et non 0,5 %. Le premier temps a enrichi la population d’un facteur quarante.
• (b) Appliquez le test de confirmation à π = 2.4 % : VPP = 83 %.
C’est toute l’architecture du dépistage, et elle découle de l’arithmétique plutôt que d’un choix de politique. Le premier temps existe pour élever la prévalence du second.
Toutes les formules employées ici, avec les démonstrations et les sources :
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